Cet article raconte comment au printemps 2018, un groupe d'une vingtaine d'étudiants du CRI Paris (Centre de Recherches Interdisciplinaires de l'Université Paris Descartes) a sillonné par groupe de 3 pendant une semaine la tour Montparnasse pour faire expérimentalement de la thermodynamique. Ces étudiants étaient en 1ère année de Licence  Frontières du Vivant  du CRI Paris. 

Introduction

 Longtemps j’ai fait le calcul. Calcul de la variation de la pression en fonction de l’altitude dans une atmosphère isotherme [1].  

 

Calcul et résultat classiques, rapides et plein d’enseignement. Incontournable dans un cours de Thermodynamique de Licence, IUT ou CPGE. Un marronnier comme on dit dans la presse pour ces sujets qui reviennent tous les ans. On trouve de multiples énoncés et corrections de l’exercice sur la toile [2].

Bizarrement pour un physicien, enseignant grenoblois, skieur et montagnard du dimanche, je n’avais jamais tenté la mesure. Au demeurant, et sauf erreur, je ne me sens pas seul même si depuis bien longtemps les altimètres mesurent la variation de pression en fonction de l'altitude en montagne et ailleurs. Dans le cadre de l'enseignement en 1ère année, je pense à une mesure quantitative exploitable avec les étudiants sur la base de modèles simples et formateurs. Pas simplement une utilisation qualitative approximative de données bien trop complexes, car dans ce cas, les évidences sont légion. C’est même un discours quotidien pour les pédiatres grenoblois en vue de protéger les oreilles des enfants. Le duo "pollution en bas avec des otites trop courantes  et variation violente de la pression atmosphérique quand on monte ou descend des stations de ski", constitue une combinaison redoutable.

Training avant utilisation pédagogique

Pour tester le baromètre de mon Smartphone, et pour le plaisir aussi,  j’ai fait une mesure de la variation de pression en rentrant en avion de Lisbonne avec le logiciel Phyphox (que je remercie ici. Les plateformes Phyphox (RFA mais multilingues) et Physics Toolbox (USA) sont nos outils de base maintenant). 

La variation de la pression dans un avion est particulièrement agréable à mesurer. C’est une variation importante (baisse de 25% en montant), dans un temps raisonnable et comme on le voit avec une variation quasi constante. La pression en vol dans un avion est contrôlée, constante donc, et correspond à une altitude conventionnelle d’environ 2000 à 2500 mètres.

L’atmosphère isotherme

Longtemps donc, je n’ai pas fait cette mesure. Il y avait quelques bonnes raisons. Il faut mesurer la pression bien sûr, la température aussi, et surtout, dit la Thermodynamique, monter dans l'atmosphère isotherme d'un système isolé couplé à une source de chaleur qui donc fixe la température.  Situation très simple aux yeux de la physique mais évidemment idéale et complètement artificielle donc en pratique, bien difficile à réaliser. Il faut aussi bien sûr connaitre précisément l'axe z, c'est-à-dire de combien on monte entre deux mesures,  et évidemment indépendamment de la mesure de pression, sinon... 

Je n’ai pas vraiment cherché, avec les moyens d’avant les Smartphones, comment faire cette mesure en vue de comparer quantitativement avec le modèle de l'atmosphère isotherme. C’était certainement possible. Je reste preneur avec plaisir de toute référence pédagogique décrivant ces mesures à l'usage des étudiants, et issue du "monde d'avant les Smartphones". Pour le faire avec un groupe d’étudiants, « il aurait certainement suffit » de ressortir d’un placard, chaque année une dizaine d’altimètres et autant de thermomètres. L’avantage aujourd’hui, certes un peu paradoxal, est que je peux sortir mon Smartphone de ma poche et faire des mesures quantitatives pour le plaisir quand je veux et où je veux [3] . Les stations météos qui couvrent le territoire et dont les mesures sont en ligne en temps réel me permettent de plus de travailler la calibration de mon baromètre à tout instant. Un peu comme un couteau suisse de la physique… Et donc faire la même chose avec les étudiants. Au passage, comme tous les étudiants ont un Smartphone (résultat expérimental établi à grande échelle), le budget d'équipement et de maintenance est donc de O,OO€.

Mais, à nouveau, si à la lecture de ce rapport d'expérience, vous souhaitez nous faire des suggestions à propos de la mesure équivalente avec des altimètres et dans des conditions réelles (i.e. hors de la tour Montparnasse), nous les accueillerons avec le plus grand plaisir. On s’en servira pour les mesures de l’année prochaine ! 

Déjà Martín Monteiro and Arturo C Martí de Montevideo (Uruguay) ont publié des études très inspirantes montrant l'utilisation du baromètre du Smartphone dans bien des conditions réelles à des fins pédagogiques.

En fait ici, quand on démarre, le problème, c'est d'une part l'altitude ( Paris n'a pas de montagne rapidement accessible par le métro), et bien sûr la disponibilité d'une atmosphère isotherme dans laquelle il faut mettre les altimètres, les thermomètres, les étudiants et le professeur. Par ailleurs, dehors, d’une part, quand on monte, la température descend, et d’autre part, il y a l'ombre et le soleil, le vent, etc. Au total, la vie n’est pas simple. Il reste qu'il est probablement intéressant de faire avec des étudiants des mesures détaillées dans des "conditions réelles". On y travaille. L’année prochaine peut être donc. 

Merci à la tour Montparnasse

Au départ, on cherche donc une atmosphère isotherme au-dessus de tout soupçon, ce qui exclut de prime abord un voyage entre Grenoble et le plateau du Vercors sur lequel il fait toujours bien plus frais [4] . Voir les habitudes des Grenoblois lors des grandes chaleurs l'été dans la cuvette entre les montagnes.

Le CRI Paris, avant de revenir Rue Charles V dans le Marais cet automne, a été hébergé ces deux dernières années aux 20ème et 21ème étages de la tour Montparnasse. Elle mesure environ 200 mètres de haut et sa température est la même à tous les étages dans une atmosphère très calme [5]! Bien sûr, une hauteur de 200 mètres comparée à un H0 de l’ordre de 8km, c’est bien limité. Mais il faut bien commencer quelque part et si quelqu’un peut faire la mesure dans la tour de Burj Khalifa de Dubaï, un gratte-ciel faisant 829,8 mètres de haut, nous serions heureux de voir le résultat. 

Voir sur le site http://thetowerinfo.com/buildi... un panorama des plus grands bâtiments du monde. 

En fait comme le montre la mesure sur le site Phyphox, on peut aussi certainement faire la mesure pour des hauteurs bien plus faibles. On verra plus loin l’intérêt de tenter des mesures au-delà de 200 mètres.

Les étudiants se trouvant déjà dans la tour, David Jung et moi avons donc proposé cette mesure aux étudiants de première année de la Licence du CRI, Frontières du Vivant [6]. Cette mesure est une partie d’une semaine d’expérimentation en thermodynamique. Quand vous pouvez mesurer facilement, localement, simultanément et avec assez de précision la pression et la température, vous pensez à bien des mesures en thermodynamique des fluides, au premier rang desquelles, bien sûr, l’étude expérimentale de la loi des gaz parfaits [7]. Nous avons en fait utilisé pour les mesures un dispositif « fait maison » du CRI Paris appelé MOVUINO [8]. 

Le MOVUINO développé par Kevin Lhoste au CRI Paris: des micro-capteurs pour l’acquisition de données. L’écran pour représenter les données en temps réel ou pas. Transmission par câble, Wifi ou Bluetooth. Dessin Maxime Bouton.

Ses capteurs sont pour l’essentiel ceux que l’on trouve dans un Smartphone. Mais il est bien plus compact (10g au lieu de plus de 100g). Il est aussi facilement programmable et complètement open source.

L’ensemble des mesures s’est déroulé sur une semaine. Chaque groupe de 3 étudiants a fait 4 expériences différentes. La mesure de p(z) et T(z) dans la tour Montparnasse est l’une d’elles. Les étudiants n’ont bénéficié de ma part que d’une brève, voire sommaire, introduction orale le lundi matin. Fait exprès. Les groupes qui ont fait l’expérience le lundi, ont fait un compte rendu aux groupes qui ont fait l’expérience le mardi : conditions expérimentales, théorie, conseils, erreurs à éviter… Processus renouvelé chaque jour de la semaine pour tenter de finir avec des expériences toujours mieux maîtrisées et toujours plus précises grâce à ce passage de relais.  Cela demande aussi aux étudiants de travailler la qualité scientifique et la clarté de ce passage de relais. Petit plaisir d’enseignant chaque matin : les voir faire! Ce n’est pas si facile et les discussions sont très animées.

Les performances de micro-baromètres [9]

Il s’agit ici d’enregistrer les données du baromètre pendant des mouvements alternatifs du MOVUINO tenu à la main, ce qui nécessite un peu d’exercice physique en le bougeant depuis les pieds jusqu'au dessus de la tête, bras tendu, c’est-à-dire une variation d’altitude d’environ 2 mètres. Les résultats sont reportés dans la courbe immédiatement ci-dessous.

Les points rouges sont la mesure de pression pendant cette oscillation. La ligne verte repère simplement la pression au niveau des pieds mesurée par les points rouges à la pression minimum.  La ligne violette est issue du calcul utilisant la formule :

La variation de pression mesurée sur 2 mètres est d’environ 20 pascals comme le prévoit le modèle. Dans les moments où le MOVUINO est immobile, les points se dispersent sur environ 5 pascals, que l’on considère dans ces mesures comme le niveau de bruit du capteur.

Avec ce niveau de performance, comme la tour a une hauteur de 200 mètres, on doit pouvoir aborder cette mesure dans de bonnes conditions. En fait c’est bien connu, la sensibilité des micro-baromètres est telle qu’elle permet pratiquement de compter les étages quand on monte avec un ascenseur.

Une semaine de mesures

Lundi : premières mesures

Mesure de la température: Immédiatement, on mesure la température à chacun des étages. 

Variation de la température en fonction de l’altitude. L’axe horizontal  est gradué en mètres.

On observe une valeur moyenne de 30,5° avec des fluctuations entre 30° et 31° environ. L’hypothèse d’atmosphère isotherme est vérifiée par cette mesure à envrion +/- 0,5°C. A l’évidence par contre, une température contrôlée de 30,5°C dans la tour au mois d’avril n’est pas réaliste. Notre capteur présente une erreur systématique de plusieurs degrés. L’analyse est faite en utilisant une température corrigée de T=20°C.

Mesure de la pression: Lors de la même montée de la tour, la pression est mesurée à chacun des étages.

Pression réduite en fonction de l’altitude. Les deux courbes sont issues de deux mesures faites au même moment. Dans cette mesure, on suppose que la variation d’altitude  entre deux étages est une constante. On distingue les décrochements autour de 56 mètres et de 145 mètres. 

Sur la figure ci-dessus, on observe une baisse pratiquement linéaire de la pression en fonction de l’altitude qui, de plus, est celle que l’on attend. On estime une  hauteur de presque 200 mètres avec une variation de pression grossièrement de 20 pascals pour 2 mètres (estimation issue de la mesure présentée lors de l’analyse des performances du baromètre avec un mouvement des pieds à la tête fixé approximativement à 2 mètres). On s’attend donc à une baisse de pression d’environ 3000 pascals.  On observe ici entre 2000 et 2500 pascals, ce qui est raisonnable pour cette première étape.

Mais déjà en ce lundi d’autres préoccupations se font jour.

Mardi : on ne comprend rien à l’anomalie reproductible aux 16ème et au 40ème  étages

De fait les informations transmises au groupe du mardi, font de ce jour celui de l’interrogation.

On s’interroge sur la nécessaire et toujours douloureuse calibration du capteur de pression. Peut on prendre la mesure de la pression pour argent comptant ? Ce capteur est-il à ce point fiable ? En fait, la comparaison avec les mesures de pression atmosphérique de InfoClimat à Paris fait plus que créer le doute. Les différences avec nos capteurs peuvent être de plusieurs centaines de pascals. Ces différences sont tout de même assez limitées pour qu’on puisse les corriger simplement. On se limitera ici à une simple normalisation en divisant toutes les mesures par la valeur de la pression mesurée au niveau du rez-de-chaussée.

Par ailleurs, même si cela paraît un détail, des accidents, certes discrets mais bien présents apparaissent dans toutes les courbes mesurées le lundi et le mardi comme celles ci-dessus autour de 50 mètres et de 140 mètres d’altitude. Elles sont bien visibles, très reproductibles donc, surprenantes et difficiles à comprendre. La variation attendue est d’abord linéaire et on ne voit pas pourquoi il y aurait des accidents dans la pression atmosphérique à ces deux hauteurs. Le tracé de la dérivée dP/dz en fonction de z, l’altitude, rend encore plus évidentes ces deux anomalies à 50 mètres et à 140 mètres.

Dérivée de la pression en fonction de l’altitude. Les anomalies à 56 mètres et à 145 mètres apparaissent clairement sur deux mesures indépendantes.

Mercredi : un groupe prend rendez vous avec le cabinet d’architectes.

Au 44ème étage de la tour se trouve l'agence "Nouvelle AOM" qui a remporté le concours international pour la métamorphose de Tour Montparnasse. Un groupe de 3 étudiants obtient un rendez vous avec l'un de leurs collaborateurs. 

Et on découvre alors avec surprise, lors d’un échange avec les architectes de la tour, que celle-ci n’est pas exactement périodique. En détail, la structure de la tour implique notamment le décalage des deux étages au 16ème et au 43ème étages.  C'est ainsi que me l'a rapporté un des étudiants: "Si je me rappelle bien, l'agence qui travaille sur la rénovation de la tour Montparnasse (Nouvelle AOM) nous avait expliqué que les deux étages plus grands sont des étages techniques qui servent pour la ventilation par exemple. Ils nous avaient donné la taille des étages normaux et celle de ces deux étages et c'est à partir de ces données que nous avons calculé l'altitude à chaque étage. »

L’altitude de chaque étage de la tour Montparnasse.

Jeudi : nouvelles mesures et utilisation des informations sur les altitudes de chacun des étages

Valeurs réduites de la pression mesurée avec les altitudes des étages corrigées. La courbe en rouge est obtenue à partir de la mesure. La courbe en bleu est issue de l’utilisation du modèle théorique avec T=293K.

Dans ce cas, la différence entre les courbes issues du calcul et de la mesure devient pratiquement l’épaisseur du trait. Cela montre que dans ces circonstances, le modèle de l’atmosphère isotherme propose une variation de la pression en fonction de l’altitude qui est quantitative. Si l’on compare la différence entre les deux courbes à la variation totale d’environ 2000 pascals, la différence est de l’ordre de 1% à 2% [10].

Vendredi : on se raconte toute l’histoire

Dialogue entre les groupes du lundi, du mardi, du mercredi, du jeudi et les enseignants: où en-est on? Qu'a-t-on appris? 

Et aussi l'histoire du 2ème terme du développement limité de l’exponentielle :

Pour une variation de 200 mètres, à partir d’une pression d'environ 100 000 pascals, le calcul du premier terme du développement donne : 2260 pascals (la différence de pression mesurée est de 2314 pascals). Cette variation est aisément mesurable. C’est la variation linéaire de la pression en fonction de l’altitude.

Le calcul du deuxième terme, celui au carré, donne une valeur de : 25 pascals soit 1%  par rapport à 2314 pascals, la variation totale.

Ouf, c'est trop juste ! Ce 1% est à peu près l’écart que l’on trouve entre la valeur théorique et celle mesurée à n'importe quel étage! La précision de la mesure est insuffisante pour aller au delà du terme linéaire. Et 25 pascals, c’est aussi la variation de pression entre nos pieds et notre main avec le bras tendu au dessus de la tête.

Conclusion

Pour chasser le 2ème terme du développement limité de l’exponentielle, il faut faire l’expérience dans une tour plus élevée !! Pour la tour de 800 mètres, le premier terme est de 9000 pascals. Le second est alors de 828 pascals, ce qui doit devenir facilement mesurable…

On lance un concours ! Qui pourra faire des mesures dans les tours les plus hautes du monde?

Voir aussi bien sûr, le "Club des Smartphonistes" dans le monde qui mesurent la pression de l'air ici et là avec leur Smartphone:

1- Exploring the atmosphere using smartphones, The Physics Teacher 54, 308 (2016),  Martín Monteiro, Patrik Vogt, Cecilia Stari, Cecilia Cabezaet Arturo C. Marti, https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.4947163

 2-Using smartphone pressure sensors to measure vertical velocities of elevators, stairways, and drones, Physics Education, 52(1), 015010 (2017), Martín Monteiro and Arturo C Martí, http://fisicamartin.blogspot.com/2016/12/using-smartphone-pressure-sensors-to.html

3-Physics Toolbox Apps, https://www.vieyrasoftware.net

4-Phyphox https://phyphox.org

On peut ajouter d'autres applications comme celle, Altimètre précis, utilisée par certains étudiants de leur propre initiative [11]. 

Notes:

[1] Présentation du résultat issu du corrigé proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) et relu par Jean- Julien Fleck (ENS Ulm) et Vincent Fourmond (ENS Ulm). http://www.prepamag.fr/concours/pdf/corriges.pdf.extraits/2002/PC_PHYSIQUE_X_1_2002.extrait.pdf

[2] En fait un physicien un peu expérimenté ne fait pas le calcul tant le rapport mgz/kBT des deux énergies s’impose ici de même que la variation exponentielle décrite en physique statistique à partir de la loi de distribution de Maxwell Boltzmann https://fr.wikipedia.org/wiki/Statistique_de_Maxwell-Boltzmann . 

[3] Et pas seulement dans le cas de la pression. En fait dans un avion, j’ai fait par exemple beaucoup de mesures diverses et variées à partir de l’accéléromètre et du gyroscope. La double intégration pour avoir la vitesse et la trajectoire lors de la phase de décollage est un peu approximative mais très instructive. 

[4]  Un adage chez les pilotes semble être « Hot to cold, look below! ». Adage qui n’est pas si évident à saisir en fait mais souligne mon propos.  http://www.askacfi.com/2868/from-hot-to-cold  

[5]  En fait nous supposons ici que tout se passe comme si l'atmosphère de la tour constituait un système isolé couplé à une source de chaleur, le système de climatisation de la tour, qui fixe la température. Malgré les échanges de chaleur avec l'extérieur, malgré les ouvertures au rez-de-chaussée qui couplent cette atmosphère au monde extérieur, tout à l'air de se passer comme si...

[6] La licence Frontières du Vivant  du CRI Paris est une licence scientifique interdisciplinaire à l’Université Paris Descartes. C’est une formation généraliste et interdisciplinaire. https://cri-paris.org/licence-fdv/

[7]  Toute suggestion bienvenue ici. Ainsi, on peut faire une expérience avec un Smartphone dans un pot de confiture étanche mis au congélateur pour mesurer pV =nRT.

[8] Le Movuino est un dispositif basé sur Arduino. Il intègre IMU, baromètre, thermomètre, Wifi, Bluetooth, batterie, mémoire. Il permet notamment de représenter facilement un mouvement en utilisant l’IMU. https://hackaday.io/project/12591-movuino 

[9] En fait, avec ce type de mesures préparatoires, nous avons fait le choix de vérifier la faisabilité de l’expérience mais de ne pas la faire vraiment et complètement avant les étudiants. Petite mise en danger, mais très modérée en fait. Et travailler ainsi sur des données réelles acquises dans des contextes approximatifs oblige à réagir en temps réel au fil de la semaine avec les étudiants. Comme on ne peut pas tout prévoir, il faut se préparer à être déstabilisé… Mais cela peut être au contraire très stimulant à la fois pour les étudiants et les enseignants. En recherche, cette interrogation collective quand on est confronté à la nouveauté, et souvent à ‘incompréhension sinon à l’échec, est d’abord la vie quotidienne des laboratoires. Une demande que nous faisons aux étudiants, est comme dit Modiano chez Françoise Hardy: "Etonnez moi, Benoit !" 

[10] Comment apprécier ce "1% à 2%", qui est donc la différence entre le modèle théorique et la mesure. Il aurait fallu mieux apprécier la précision et la qualité de cette mesure, ce qui est en fait à la fois central en physique et toujours assez, sinon très, délicat à faire en détail. Cela dépend des techniques, des caractéristiques des appareils, du contrôle des conditions expérimentales et des effets physiques utilisés pour la mesure. Suivre l'épopée du "mètre" permet de bien apprécier cette difficulté et combien cette question reste au coeur de la science. Ici, aller plus loin n'est pas l'objet. Pour le plaisir on se réfèrera au 3% de Kapitza. D Shoenberg, in "Kapitza in Cambridge and Moscow" raconte cette histoire célèbre à propos de l'arrivée de Kapitza dans le labo de  Rutherford à Cambridge (UK): "Fortunately England proved more accommodating and eventually Kapitza arrived in May 1921. Ioffe introduced him to Rutherford at the Cavendish Laboratory in Cambridge, then a kind of Mecca for physicists from all over the world, and Kapitza asked Rutherford if he would accept him as his student over the winter. At this point Rutherford became distinctly less friendly and said his laboratory was already full. Kapitza responded with a seemingly quite irrelevant question — what sort of accuracy did Rutherford aim at in his experiments? Rutherford was rather non- plussed, but told Kapitza that usually something like 3% error was permissible. Ah, said Kapitza — you have about 30 students, so you wouldn’t notice one more if you took me, since I would be just about within your permissible error. Rutherford was impressed by the ingenuity and the sheer cheek of Kapitza’s approach and agreed to take him." 

[11] Des étudiants ont aussi utilisé l'application Altimètre précis https://play.google.com/store/... qui se présente ainsi:

"L'altimètre le plus téléchargé sur le Play Store est maintenant mis à jour avec une nouvelle interface et de nouvelles fonctionnalités !
- L'estimation de l'altitude avec trois méthodes différentes pour être toujours sûr d'obtenir une mesure fiable, même sans connexion Internet.
- Graphiques historiques pour voir les augmentations d'altitude de vos excursions.
- Carte avec vos lignes d'altitude et de contours. Choisissez une altitude à partir de n'importe quel point de la carte.
- Des images avec nom de l'endroit et altitude indiqués.
L'altitude peut être estimée :
- Par triangulation de satellites. Lent et moins précis, mais cela fonctionne même sans connexion Internet.
- Prendre l'altitude du sol de votre position actuelle à partir d'un service Web Internet.
- En utilisant le capteur de pression de l'appareil (le cas échéant). Il s'étalonne sur la pression de la station météorologique la plus proche pour améliorer la précision."